数值分析期中复习（极简版）

数值分析期中复习（极简版） 数值分析的核心目标是利用数值方法近似求解微分方程和代数方程，尤其在精确解难以获得或计算量过大时。本期复习将聚焦于几个关键概念，旨在帮助你快速回顾核心内容。 一、误差理论 误差分析是数值分析的基石。主要考察了误差的类型，包括截断误差（Truncation Error）和舍入误差（Rounding Error）。理解这些误差源的本质，对于评估数值解的可靠性至关重要。尤其需要掌握LUBER理论，即在特定条件下，当步长（h）趋近于零时，截断误差也趋近于零，从而获得精度更高的近似解。 二、数值积分方法 矩形法则（Rectangular Rule）和梯形法则（Trapezoidal Rule）是常用的数值积分方法。 矩形法则的误差项为 `O(h^2)`，而梯形法则的误差项为 `O(h^2)`。 两种方法都旨在通过改变步长（h）来控制误差，以提高积分精度。 三、数值微分 数值微分主要用于近似计算导数。常用的方法包括前向差分（Forward Difference）、后向差分（Backward Difference）和中点差分（Central Difference）。中点差分通常比前向差分和后向差分更精确，误差项为 `O(h)`。 四、求解线性方程组 格点法（Gauss Elimination）是一种常用的求解线性方程组的方法。 这种方法依赖于迭代过程，需要根据实际情况选择合适的初值，以保证算法的收敛性。 五、总结 数值分析并非仅仅是简单的计算，更重要的是理解误差、选择合适的方法、并分析解的可靠性。 本期复习提供了一个基础的框架，鼓励你进一步深入学习和实践。 熟练掌握这些基本概念，将为你后续学习数值分析打下坚实的基础。 展开