数值分析重点笔记（一）

数值分析重点笔记（一） 数值分析是应用数学的一个重要分支，它主要研究如何利用数值方法求解数学问题的近似解。在学习数值分析时，理解和掌握以下几个关键方面至关重要。 1. 误差理论：理解误差的来源与控制 数值计算的本质是近似，因此理解误差是所有数值分析的基础。主要分为： 截断误差： 由于数值方法在离散化过程中引入的近似，导致结果与真实解的偏差。 舍入误差： 由于计算机在存储和运算过程中，精度有限，导致运算结果与真实值存在差异。 对误差的理解有助于我们选择合适的数值方法，并评估结果的可靠性。 2. 迭代方法：求解方程组的常用手段 迭代方法是求解方程组的常用方法，例如： 高斯消去法： 通过线性方程组的增广矩阵进行行变换，求解线性方程组。 Jacobi 法： 迭代求解线性方程组，更新变量的估计值。 Gauss-Seidel 法： Jacobi 法的改进版本，在更新变量的估计值时，使用当前的估计值。 3. 根的逼近：数值方法求解方程根 求解方程根是数值分析中常见的问题，常用的方法包括： 二分法： 在一个区间内，不断地将区间一分为二，直至找到根。 牛顿迭代法： 采用迭代公式，快速逼近方程根。 掌握以上几个方面的知识，是进行数值分析的基础。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的数值方法，并注意误差的控制。 展开